De eenheidscirkel is een handig visualisatietool om te leren over trigonometrische functies.
De sleutel tot zijn bruikbaarheid is zijn eenvoud. Het maakt het onthouden van verschillende waarden overbodig en stelt de gebruiker in staat om eenvoudig verschillende resultaten voor verschillende gevallen af te leiden.
Laten we er meer over leren en ons begrip testen met een handige goniometrische rekenmachine die ik aan het einde van het artikel heb gemaakt.
Deel 1. Wat is de Unit Circle en hoe wordt deze gebruikt?
De eenheidscirkel is een cirkel met een straal van één eenheid met het middelpunt op de oorsprong. Met andere woorden, het midden wordt op een grafiek geplaatst waar de X- en Y- as elkaar kruisen.
Als we een straal hebben die gelijk is aan 1 eenheid, kunnen we referentiedriehoeken maken met hypotenusa die gelijk is aan 1 eenheid.
Zoals we binnenkort zullen zien, kunnen we daarmee sinus , cosinus en tangens rechtstreeks meten . De onderstaande driehoek herinnert ons eraan hoe we sinus en cosinus definiëren voor een hoek alfa .
Omdat de hypotenusa gelijk is aan 1 en alles gedeeld door 1 gelijk is aan zichzelf, is de zonde van alfa gelijk aan de lengte van BC. Of sin (α) = BC / 1 = BC .
Evenzo zal cosinus gelijk zijn aan de lengte van AC. Of cos (α) = AC / 1 = AC .
Laten we vervolgens deze driehoek naar onze Eenheidscirkel verplaatsen, zodat de straal van de cirkel als hypotenusa kan dienen.
Als resultaat is de y- coördinaat van het punt waar de driehoek de cirkel raakt gelijk aan sin (α) of y = sin (α) . Evenzo is de x- coördinaat gelijk aan cos (α), of x = cos (α) .
Dus door rond de cirkel te bewegen en de hoek te veranderen, kunnen we de sinus en cosinus van die hoek meten door de y- en x-coördinaten dienovereenkomstig te meten.
De hoeken kunnen worden gemeten in graden en / of radialen . Het punt met coördinaten (1, 0) komt overeen met 0 graden (zie Fig 1). De maat neemt toe tegen de klok in, dus het punt met coördinaten (0, 1) komt overeen met 90 graden. Een volledige cirkel - 360 graden.
Deel 2. Belangrijke hoeken en hun overeenkomstige sinus-, cosinus- en tangenswaarden
Omdat het logisch is om bij 0 graden te beginnen, ziet onze cirkel er als volgt uit:
Omdat tangens gelijk is aan sinus gedeeld door cosinus, tan (0) = sin (0) / cos (0) = 0/1 = 0 .
Laten we nu eens kijken wat er gebeurt bij 90 graden. De coördinaten van het overeenkomstige punt zijn (0, 1). Dus sin (90) = y = 1 en cos (90) = x = 0. De cirkel ziet er als volgt uit:
Hoe zit het met tangens (90)? Naarmate de cosinusmaat 0 nadert en het toevallig een noemer in een breuk is, neemt de waarde van die breuk toe tot oneindig. Daarom wordt gezegd dat tan (90) niet gedefinieerd is .
Nu de vraag die je zou kunnen stellen: als zonde van 0 naar 1 gaat, terwijl cosinus van 1 naar 0 gaat, zijn ze dan ooit gelijk aan elkaar? Het antwoord is ja, en dat gebeurt precies halverwege bij 45 graden! De cirkel ziet er als volgt uit:
Omdat de teller hetzelfde is als de noemer, is tan (45) = 1 .
Ten slotte de algemene referentie Unit Circle. Het geeft zowel positieve als negatieve waarden weer voor X- en Y-assen en toont belangrijke waarden die u moet onthouden
Als laatste opmerking voor deze sectie, helpt het altijd om de volgende trigonometrische identiteit te onthouden op basis van de stelling van Pythagoras: sin2 (α) + cos2 (α) = 1.
Deel 3. Goniometrische rekenmachine
Als handig oefenhulpmiddel heb ik een eenvoudige goniometrische rekenmachine toegevoegd. Het vereist invoer voor hoekmetingen en voert overeenkomstige waarden uit voor sinus- , cosinus- en tangensfuncties .
U kunt graden of radialen kiezen als hoekmaat. Ze hebben elk hun voor- en nadelen. Voor kwantitatieve relaties, aangezien π radialen = 180 °, zou 1 radiaal 180 ° / π of ongeveer 57 ° zijn . Het kan met elke gewenste nauwkeurigheid worden berekend.
De code voor de rekenmachine bevat enige elementaire interactiviteit en foutafhandeling binnen de beperkingen van de editor. De bouwstenen zijn gemarkeerd en becommentarieerd, zodat iedereen die het wil wijzigen dit gemakkelijk kan doen.
Er kunnen bijvoorbeeld nieuwe functies zoals ctg , sec enzovoort worden toegevoegd, evenals verschillende kleurenschema's en nog veel meer. De volledige broncode is toegankelijk door hier te klikken.
Voer de maat voor graden of radialen in en klik op Verzenden
Graad Radian VerzendenZONDE:
COS:
BRUINEN:
Ik hoop dat het artikel, samen met de broncode van de rekenmachine, je van dienst zal zijn. Ik kijk ernaar uit om binnenkort de wijzigingen te zien.